数学轴对称的教学教案设计

时间:2021-03-03 15:59:14 数学教案 我要投稿

有关数学轴对称的教学教案设计

  本章概述

有关数学轴对称的教学教案设计

  本章主要从生活中的图形入手,学习轴对称及其基本性质,欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.在此基础上,利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法,进一步学习等边三角形的性质和判定.

  轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象,是密切数学知识与现实联系的重要内容.本章内容是上一章内容的继续.又是后面学习四边形、圆的基础,所以学好本节知识至关重要.本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念,涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质,在学习时应特别注意.

  本章学习重难点

  【本章重点】

  1.轴对称的概念和性质和判定.

  2.等腰(或等边)三角形的性质和判定.

  【本章难点】1.利用轴对称的性质进行图案设计.

  2.书写推理证明过程.

  学法指导

  1.注意联系实际,通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定,利用轴对称的观点解释生活中的有关现象,设计图案选择最佳方案等,体现知识的应用,体现具体——抽象——具体的过程.

  2.注意知识间的联系.图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及,注意各部分知识之间的联系,把所学知识纳入已有的知识体系.

  3.注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用.

  知识网络结构图

  专题总结及应用

  一、知识性专题

  专题1 轴对称及轴对称图形

  【专题解读】 此部分内容是近几年中考中常见的题型,也是新题型之一,解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质.

  例1如图12-112所示的是小方画的正方形风筝图案,她以图中的对角线所在直线为对称轴,在对角线的下方画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若如图12-113所示的图形中有一图形为此轴对称图形,则此图为()

  分析 本题主要考查轴对称图形的性质,即对应点连线被对称轴垂直平分,只有C为轴对称图形.故选C.

  规律方法 判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称),关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折,使对折后的两部分(或两个图形)重合.

  专题2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案

  【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案,当对称轴改变方向时,原图形的对称图形也改变方向,一个图形经过若干次轴对称变换,再结合平移、旋转等.就可以得到非常美丽的图案.

  例2 如图12-114①所示,给出了一个图案的一半,其中的虚线就是这个图案的对称轴,请画出这个图案的另一半.

  解:如图12-114②所示.

  【解题策略】先作出特殊点的对称点,然后连接即可.

  专题3 等腰三角形的性质和判定

  【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直,这是几何证明中最重要的知识之一,它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查.

  例3 如图12-115所示,AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD和CE相交于点F,且∠ABD=∠ACE.求证BF=CF.

  分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定.由于AB=AC,所以作辅助线BC,则可以构造等腰三角形,从而利用等腰三角形的性质解决问题.

  证明:连接BC,

  ∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC(等边对等角).

  又∵∠ACE=∠ABD,∴∠FCB=∠FBC.

  ∴BF=CF(等角对等边).

  【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定,也可以连辅助线AF,来证明BF=CF,用这个方法证明要用到三角形全等,比较麻烦.

  专题4等边三角形的性质和判定

  【专题解读】 等边三角形是一个很特殊的三角形,它的三边都相等,三个角都是60°,正是由于它的特殊性,因此在很多的几何证明题中都会用到.

  例4 如图12-116所示,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=4,若将△ADC沿直线AD折叠,则C点落在点E的位置上,求BE的长.

  分析 本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质.

  解:由折叠得∠ADE=∠ADC=60°,CD=DE.

  又∵BD=DC,∴DE=BD.

  ∵∠ADE=∠ADC=60°,

  ∴∠BDE=180°-60°-60°=60°.

  ∴△BDE为等边三角形.

  ∴BE=BD=BC=2.

  【解题策略】 本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法.

  专题5含30°角的`直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用

  【专题解读】直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,这条性质在实际生活中有着广泛的应用.由角的特殊性,揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系.

  例5 如图12-117所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D.求证BE=3AD.

  分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定,以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质.

  证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).

  又∵∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.

  ∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.

  ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.∴∠B=∠BAD.

  ∴BD=AD(等角对等边).

  在Rt△ADC中,∵∠C=30°,∴CD=2AD.

  ∴BC=BD+CD=AD+2AD=3AD.

  二、规律方法专题

  专题6 正确作辅助线解决问题

  【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质,做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论.

  例6 如图12-118所示,∠B=90°,AD=AB=BC,DE⊥AC.求证BF=DC.

  证明:连接AE.

  ∵ED⊥AC,∴∠ADE=90°.

  又∵∠B=90°.

  ∴在Rt△ABE和Rt△ADE中,

  ∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL),∴BE=ED.

  ∵AB=BC,∴∠BAC=∠C.

  又∵∠B=90°,∴∠BAC+∠C=90°.

  ∴∠C=45°.

  ∵∠EDC=90°,∴∠C=∠DEC=45°.

  ∴DE=DC,∴BE=DC.

  例7 如图12-119所示,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC的延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G.求证EG=FG.

  证明:过E作EM∥AC,交BC于点M,

  则∠EMB=∠ACB,∠MEG=∠F.

  又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.

  ∴∠B=∠EMB,∴EB=EM.

  又∵BE=CF,∴EM=FC.

  在△MEG和△CFG中,

  ∴△MEG≌△CFG(AAS).

  ∴EG=FG.

  三、思想方法专题

  专题7 分类讨论思想

  【专题解读】 本章涉及等腰三角形的边、角的计算,应通过题意探讨其可能存在的情况,运用相关知识一一讨论不难获得结论.

  例8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13cm和15cm两部分,试求此等腰三角形的腰长和底边长.

  分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题,解题时应注意到分为13cm和15cm两部分时的两种可能情形,进行分类讨论即可.

  解:如图12-120所示,AB=AC,D为AC的中点,

  所以AD=CD,

  由题意知或

  解得AB=AC=,BC=或AB=AC=10,BC=8.

  即此等腰三角形的腰长与底边长分别为cm,cm或10cm,8cm.

  规律方法 本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形.也可以说是来源于题设中的“不明确”,解题过程应从题设中挖掘出类似的信息,以使解答完整.

  专题8 数形结合思想

  【专题解读】 数形结合思想是比较常用的数学思想,在解有关三角形的问题时显得尤为重要.

  例9(开放题)如图12-121所示,△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE,需添加的条件是 .

  分析从确定△ADE是等腰三角形着眼,若∠ADE=∠AED,可得AD=AE,除此以外还可加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE.故填∠ADE=∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE(答案不唯一).

  例10(探究题)如图12-122所示,线段OP的一个端点O在直线a上,以OP为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画几个?

  分析 以OP为一边画等腰三角形,要考虑OP作腰和OP作底边两种情况.

  解:(1)当OP作等腰三角形的腰时,分O作顶点和P作顶点两种情况.当O作顶点,OP作腰时,则以O为圆心,OP为半径画弧,与直线a交于M1,M2两点,则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形;当P作顶点,PO作腰时,则以P为圆心,PO为半径画弧,交直线a于M3,则△POM3为等腰三角形.(2)当OP作等腰三角形的底边时,作OP的垂直平分线交直线a于M4,则△OPM4为等腰三角形.

  所以这样的等腰三角形能画4个.如图12-123所示.

  例11(动手操作题)如图12-124①所示,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,仿照图①请你再用两种不同的方法,将△ABC分割成3个三角形,使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限,不写作法和证明,但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数).

  分析 在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,所以∠B=∠C=72°.所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°,72°,108°,18°,144°,以这些度数为基础设计分割方案,便可得出符合条件的图形.

  解:如图12-124②③④⑤所示均符合要求.

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