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平面向量的数量积及运算律数学教案
一、教学目标
1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．
二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用。
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1．设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2．探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：有...
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
【例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注： （其中 、 为向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 。
解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值。
【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时， 与 互相垂直．
3．演练反馈（投影）
（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角．
（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，
①求 的值；
②求证： 与 垂直．
（3）证明：直径所对的圆周角为直角．
参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直。
（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）
则
∵ ，
∴ 即 圆周角
4．总结提炼
（1）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．
（2）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．
（3）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．
五、板书设计
课题：
1．数量积性质
2．数量积运算律
演练反馈
总结提炼
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