高中数学复数的练习题

高中数学复数的练习题

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　　数学练习题

　　填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

　　13.已知复数z=2+i，则z4-4z3+6z2-4z-1=________. 答案 -6

　　解析 z4-4z3+6z2-4z-1=(z4-4z3+6z2-4z+1)-2=(z-1)4-2=(1+i)4-2=[(1+i)2]2-2

　　=(2i)2-2=-4-2=-6.

　　14.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=________(n为正整数). 答案 0 15.已知

　　1-i3

　　a+3i，则a=________. 1+i

　　B.-2i D.-2

　　答案 -2-3i

　　16.设z∈C，z+|z|=2+i，则z=________. 3

　　答案 4+i

　　解析 设z=a+bi，则|z|=a+b. ∴a+bia+b=2+i. a+a+b=2，∴ b=1.3a=∴4b=1，

　　3

　　∴z=4i.

　　三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)

　　17.(10分)若复数z=m2+m-2+(2m2-m-3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合.

　　解析 由题意得z=m2+m-2-(2m2-m-3)i.

　　22m+m-2>0，m+m-2>0，∴即2 2

　　-2m-m-3>0，2m-m-3<0，

　　3解得1

　　18.(12分)计算(223.

　　1313131313

　　解析 方法一 ∵(2+2i)3=(2+2i)2(2+2i)=(-2+2i)(2+2i)=3131

　　22-22=-4-4=-1.

　　1131331339

　　方法二 原式=(23+3×(2)2×2+3×2×(2i)2+(2i)3=8+8i-83

　　8=-1.

　　19.(12分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i，z2=-cos2θ→

　　+icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB对应的复数为z.

　　(1)求复数z;

　　1

　　(2)若复数z对应的点P在直线y=2上，求θ的值.

　　解析 (1)z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1)=-1-i(2sin2θ). (2)点P的坐标为(-1，-2sin2θ). 11

　　由点P在直线y=2，得-2sin2θ=-2. 11

　　∴sin2θ4sinθ=2π5711

　　又∵θ∈(0,2π)，∴θ=6，6π，6π，6

　　1-i2+31+i

　　20.(12分)已知复数z=若z2+az+b=1-i，试求实数a、

　　2-ib的值.

　　解析 化简得z=1+i代入方程，得 a+b+(2+a)i=1-i.

　　a+b=1，a=-3，∴ ∴ 2+a=-1，b=4.21.(12分)设z=(a2-a-6)+虚数?并说明理由.

　　解析 假设复数z能为纯虚数，则

　　a2+2a-15

　　a∈R)，试判断复数z能否为纯

　　a2-4

　　a2-a-6=0，a2+2a-15≠0.a2-4

　　a=3或a=-2，∴

　　2.a≠-5且a≠3且a≠±

　　∴不存在a使复数z为纯虚数.

　　22.(12分)已知a∈R，问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?

　　解析 由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3， -(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1， 得z的实部为正数，z的虚部为负数. ∴复数z对应的点在第四象限.

　　x=a2-2a+4，

　　设z=x+yi(x，y∈R)，则

　　y=-a2-2a+2.消去a2-2a，得y=-x+2(x≥3). ∴复数z对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y=-x+2(x≥3).

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