小升初奥数三人行程问题解析

小升初奥数三人行程问题解析

　　在学习、工作生活中，许多人都需要跟试题打交道，试题可以帮助主办方了解考生某方面的知识或技能状况。一份好的试题都具备什么特点呢？下面是小编帮大家整理的小升初奥数三人行程问题解析，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　小升初奥数三人行程问题解析 1

　　题目：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

　　分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

　　第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）。

　　第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的`追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）。

　　第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程。

　　所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）。

　　我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

　　总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！

　　小升初奥数三人行程问题解析 2

　　（一）三人相遇问题

　　例 1：甲、乙、丙三人分别从 A、B、C 三地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时 5 千米，乙的速度是每小时 4 千米，丙的速度是每小时 3 千米。A、B 两地相距 20 千米，B、C 两地相距 30 千米。问经过多长时间甲、乙、丙三人会相遇在同一地点？

　　解析：首先分析三人的运动方向，甲从 A 向 B 运动，乙从 B 可能向 A 或 C 运动，丙从 C 向 B 运动。由于是相向而行且要相遇在同一地点，所以乙应该是从 B 向 A 运动。设经过 t 小时三人相遇在同一地点。此时甲走的路程为 5t 千米，乙走的路程为 4t 千米，丙走的路程为 3t 千米。根据 A、B 两地相距 20 千米，可得甲和乙走过的路程之和等于 A、B 两地的距离，即 5t + 4t = 20，解得 t = 20/9 小时。再看丙，此时丙走的路程为 3×(20/9)=20/3 千米，而 B、C 两地相距 30 千米，20/3 千米小于 30 千米，说明此时丙还在向 B 地运动，且甲、乙相遇的地点距离 B 地 4×(20/9)=80/9 千米，距离 C 地 30 - 80/9=190/9 千米，显然丙还未到达该地点，所以此假设错误。

　　重新考虑，乙应该是从 B 向 C 运动。那么甲从 A 向 B，乙从 B 向 C，丙从 C 向 B。三人相遇在同一地点，说明甲到达该地点时，乙和丙也到达该地点。设相遇地点距离 B 地 x 千米，则甲走过的路程是 (20 - x) 千米，所用时间为 (20 - x)/5 小时；乙走过的路程是 x 千米，所用时间为 x/4 小时；丙走过的路程是 (30 - x) 千米，所用时间为 (30 - x)/3 小时。这三个时间相等，即 (20 - x)/5 = x/4，解得 x = 80/9 千米。再验证 (30 - x)/3 = (30 - 80/9)/3 = (190/9)/3 = 190/27 小时，(20 - x)/5=(20 - 80/9)/5=(100/9)/5=20/9=60/27 小时，两者不相等，说明假设仍有问题。

　　其实三人相遇在同一地点，意味着甲和乙相遇时，丙也刚好到达该地点。甲和乙从 A、B 相向而行，相遇时间为 20÷(5 + 4)=20/9 小时，此时相遇地点距离 B 地 4×20/9=80/9 千米，此时丙走的路程为 3×20/9=20/3 千米，距离 B 地 30 - 20/3=70/3 千米，不等于 80/9 千米，所以三人不会同时相遇在同一地点，这说明题目可能存在其他条件或我们的理解有误。

　　总结：解决三人相遇问题，关键是找出三人运动过程中路程、速度和时间之间的关系，通过设未知数，根据相遇时的位置关系列出方程求解，同时要注意验证结果是否符合实际情况。

　　（二）三人追及问题

　　例 2：甲、乙、丙三人在同一条直线上同向运动，甲在最前面，乙在中间，丙在最后。甲的速度是每小时 3 千米，乙的速度是每小时 5 千米，丙的速度是每小时 7 千米。开始时，甲与乙相距 10 千米，乙与丙相距 20 千米。问经过多长时间丙追上甲？

　　解析：首先明确三人的运动方向相同，都是同向运动。丙要追上甲，需要比甲多走乙与丙之间的距离加上甲与乙之间的距离，即 20 + 10 = 30 千米。丙与甲的速度差是 7 - 3 = 4 千米 / 小时。根据追及时间 = 路程差 ÷ 速度差，可得追及时间为 30÷4 = 7.5 小时。

　　验证：7.5 小时后，甲走的路程为 3×7.5 = 22.5 千米，乙走的路程为 5×7.5 = 37.5 千米，丙走的路程为 7×7.5 = 52.5 千米。开始时甲的'位置设为 0，则乙的初始位置是 10 千米，丙的初始位置是 10 + 20 = 30 千米。7.5 小时后，甲的位置是 22.5 千米，丙的位置是 30 + 52.5 = 82.5 千米？显然这里计算错误，初始位置设定有误。重新设定：设甲初始位置为 0，那么乙初始位置是 10 千米（因为甲与乙相距 10 千米，同向），丙初始位置是 10 + 20 = 30 千米（乙与丙相距 20 千米，同向）。7.5 小时后，甲的位置是 0 + 3×7.5 = 22.5 千米，丙的位置是 30 + 7×7.5 = 30 + 52.5 = 82.5 千米，两者不相等，说明前面的思路错误。

　　正确的路程差应该是丙与甲之间的初始距离，即 10 + 20 = 30 千米，丙速度比甲快，所以每小时能缩短距离 4 千米，追上时所走路程差就是 30 千米，所以时间应该是 30÷(7 - 3)=7.5 小时，但位置计算不对，是因为位置设定时丙的初始位置应该是在乙后面 20 千米，即甲在 0，乙在 10，丙在 10 - 20 = -10 千米。此时 7.5 小时后，甲在 22.5 千米，丙在 - 10 + 7×7.5 = -10 + 52.5 = 42.5 千米，还是不对。原来同向而行，距离是指前面的人到后面的人的距离，所以应该是丙在最前面，乙在中间，甲在最后？题目说 “甲在最前面，乙在中间，丙在最后”，所以距离是甲到乙 10 千米，乙到丙 20 千米，即丙在最后，距离乙 20 千米，所以甲到丙的距离是 10 + 20 = 30 千米。丙要追上甲，需要多走 30 千米，速度差 4 千米 / 小时，时间 30÷4=7.5 小时。此时甲的位置：0 + 3×7.5=22.5 千米，丙的位置：-30（因为在甲后面 30 千米） + 7×7.5=-30 + 52.5=22.5 千米，正确。所以答案是 7.5 小时。

　　（三）三人既有相遇又有追及的问题

　　例 3：甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，沿同一方向绕圆形操场运动，甲的速度是每小时 6 千米，乙的速度是每小时 4 千米，丙的速度是每小时 2 千米。操场周长是 24 千米。问经过多长时间三人再次相遇在出发点？

　　解析：三人再次相遇在出发点，意味着他们各自跑的路程都是操场周长的整数倍。设经过 t 小时三人再次相遇在出发点。此时甲跑的路程为 6t 千米，是 24 的倍数，即 6t=24a（a 为正整数），t=4a；乙跑的路程为 4t 千米，是 24 的倍数，即 4t=24b（b 为正整数），t=6b；丙跑的路程为 2t 千米，是 24 的倍数，即 2t=24c（c 为正整数），t=12c。所以 t 是 4、6、12 的最小公倍数，即 12 小时。

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