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高中数学知识点

时间：2021-03-06 18:50:24 高中数学我要投稿

高中数学知识点精选

　　【读者按】掌握排列组合的内部规律及本质是学好排列组合的关键所在，下面是小编为大家整理的排列组合公式大全，希望对广大朋友有所帮助。

高中数学知识点精选

　　排列组合与二项式定理知识点

　　1.计数原理知识点

　　①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)

　　2. 排列(有序)与组合(无序)

　　Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!

　　Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!-k!

　　3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

　　排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

　　捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

　　插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等

　　在求解排列与组合应用问题时，应注意：

　　祸起箫墙

　　一天晚上，在一个由一对夫妇和他们的儿子、女儿组成的四口之家中，发生了一起谋杀案。家庭中的一个成员杀害了另一个成员；其他两个成员，一个是目击者，另一个则是凶手的同谋。

　　（1）同谋和目击者性别不同。

　　（2）最年长的成员和目击者性别不同。

　　（3）最年轻的成员和被害者性别不同。

　　（4）同谋的年龄比被害者大。

　　（5）父亲是最年长的成员。

　　（6）凶手不是最年轻的成员。

　　在父亲、母亲、儿子和女儿这四人中，谁是凶手？

　　（提示：最年轻的家庭成员是什么角色？谁是最年轻的的家庭成员？）

　　答案

　　根据{（3）最年轻的成员和被害者性别不同}，最年轻的家庭成员不是被害者；根据{（4）同谋的年龄比被害者大}，也不是同谋。根据{（6）凶手不是最年轻的成员}也不是凶手。于是，根据（4），只有以下三种可能（A代表同谋，V代表被害者，K代表凶手，W代表目击者）：

　　最年长的家庭成员AAK

　　次年长的家庭成员VKA

　　次年轻的家庭成员KVV

　　最年轻的家庭成员WWW

　　根据{（5）父亲是最年长的成员。}，父亲是最年长者；从而母亲是次年长者。根据{（2）最年长的成员和目击者性别不同。}和上述的这些可能，最年轻的家庭成员是女儿；从而次年轻的家庭成员是儿子。于是，从最年长的家庭成员到最年轻的家庭成员，上述三种可能就是：

　　父亲AAK

　　母亲VKA

　　儿子KVV

　　女儿WWW

　　根据{（3）最年轻的成员和被害者性别不同。}Ⅰ不可能成立。根据{（1）同谋和目击者性别不同。}Ⅲ不可能成立高中数学。因此，只有Ⅱ是可能的，也就是说，凶手是母亲。

　　逻辑联结词

　　一、教学目标

　　（1）了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；

　　（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

　　（3）能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；

　　（4）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；

　　（5）会用真值表判断相应的复合命题的真假；

　　（6）在的基础上，培养简单推理的技能．

　　二、教学重点难点：

　　重点是判断复合命题真假的；难点是对“或”的含义的理解．

　　三、教学过程

　　1．新课导入

　　在当今社会中，人们从事任何、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．的特点是逻辑性强，特别是进入以后，所学的教学比更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．

　　平面几何中曾学过命题，请同学们举一个命题的例子．（板书：命题．）

　　（从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关知识．）

　　学生举例：平行四边形的对角线互相平． ……（1）

　　两直线平行，同位角相等．…………（2）

　　提问：“……相等的角是对顶角”是不是命题？……（3）

　　（同学议论结果，答案是肯定的．）

　　教师提问：什么是命题？

　　（学生进行回忆、思考．）

　　概念总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题．

　　（教师肯定了同学的回答，并作板书．）

　　由于判断有正确与错误之分，所以命题有真假之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命题．

　　（教师利用投影片，和学生讨论以下问题．）

　　例1 判断以下各语句是不是命题，若是，判断其真假：

　　命题一定要对一件事情作出判断，（3）、（4）没有对一件事情作出判断，所以它们不是命题．

　　初中所学的命题概念涉及逻辑知识，我们今天开始要在初中学习的基础上，介绍简易逻辑的知识．

　　2．讲授新课

　　大家看课本（人教版，试验修订本，第一册（上））从第25页至26页例1前，并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题？

　　（片刻后请同学举手回答，一共讲了四个问题．师生一道归纳如下．）

　　（1）什么叫做命题？

　　可以判断真假的语句叫做命题．

　　判断一个语句是不是命题，关键看这语句有没有对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题．有些语句中含有变量，如中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假（这种含有变量的语句叫做“开语句”）．

　　（2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”．

　　“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．逻辑联结词除这三种形式外，还有“若…则…”和“当且仅当”两种形式．

　　对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念．中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一个是成立的，即且；也可以且；也可以且．这与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能．

　　对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念．中的“且”，是指“ ”、“ 这两个条件都要满足的意思．

　　对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题对应于集合，则命题非就对应着集合在全集中的补集．

　　命题可分为简单命题和复合命题．

　　不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．

　　由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题．

　　（4）命题的表示：用，，，，……来表示．

　　（教师根据学生回答的情况作补充和强调，特别是对复合命题的概念作出分析和展开．）

　　我们接触的复合命题一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若则 ”等形式．

　　给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词；应能根据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题．

　　对于给出“若则 ”形式的复合命题，应能找到条件和结论．在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”．例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题．

　　3．巩固新课

　　例2 判断下列命题，哪些是简单命题，哪些是复合命题．如果是复合命题，指出它的构成形式以及构成它的简单命题．

　　（1）；

　　（2）0.5非整数；

　　（3）内错角相等，两直线平行；

　　（4）菱形的对角线互相垂直且平分；

　　（5）平行线不相交；

　　（6）若，则．

　　（让学生有充分的时间进行辨析．教材中对“若…则…”不作要求，教师可以根据学生的情况作些补充．）

　　例3 写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）．

　　若给定语为

　　等于

　　大于

　　是

　　都是

　　至多有一个

　　至少有一个

　　至多有个

　　其否定语分别为

　　分析：“等于”的否定语是“不等于”；

　　“大于”的否定语是“小于或者等于”；

　　“是”的否定语是“不是”；

　　“都是”的否定语是“不都是”；

　　“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；

　　“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；

　　“至多有个”的否定语是“至少有个”．

　　（如果时间宽裕，可让学生讨论后得出结论．）

　　置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的情况、时间作适当的辨析与展开．）

　　立体几何学习中的图形观

　　立体几何的离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间．所以在立体几何的中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的．

　　一、作图

　　作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决．

　　例1 已知正方体中，点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面．

　　分析：作图是学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点．看到这样的题目不知所云．有的连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可．观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面，由面面平行的性质可得，截面和面的交线一定和PE平行．而F是的中点，故取的中点Q，则FQ也是一条交线．再延长FQ和的延长线交于一点M，由公理3，点M在平面和平面的交线上，连PM交于点K 高中政治，则QK和KP又是两条交线．同理可以找到FR和RE两条交线（如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面．

　　二、读图

　　图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环．例2 如图3，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b＜a，若Q是上的定点，P在上滑动，则四面体PQEF的体积（）．

　　（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量

　　分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？

　　仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．

　　三、用图

　　在立体几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论．要证明它我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论，这样的图形就是反例图形．若我们的心中有这样的反例图形，那就可以帮助我们迅速作出判断．

　　例3判断下面的命题是否正确：底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱锥．

　　分析：这是一个学生很容易判断错误的问题．大家认为该命题正确，其实是错误的，但大家一时举不出例子来加以说明．问题的关键是二面角相等很难处理．我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到？

　　如图4，设正三棱锥的侧面等腰三角形PAB的顶角是，底角是，作的平分线，交PA于E，连接EC．可以证明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，从而就是满足题设的三棱锥，但不是正三棱锥．

　　四、造图

　　在立体几何的学习中，我们可以根据题目的特征，精心构造一个相应的特殊几何模型，将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题．

　　例4 设a、b、c是两两异面的三条直线，已知，且d是a、b的公垂线，如果，那么c与d的位置关系是（）．

　　（A）相交（B）平行（C）异面（D）异面或平行

　　分析：判断空间直线的位置关系，最佳是构造恰当的几何图形，它具有直观和易于判断的优点．根据本题的特点，可以考虑构造正方体，如图5，在正方体中，令AB＝a，BC＝d，．当c为直线时，c与d平行；当c为直线时，c与d异面，故选D．

　　五、拼图

　　空间基本图形由点、线、面构成，而一些特殊的图形也可以通过基本图形拼接得到．在拼图的过程中，我们会发现一些变和不变的东西，从中感悟出这个图形的特点，找出解决待求解问题的方法．

　　例5给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明．

　　分析：这是2002年立体几何题中的一部分．这个设计新颖的题目，使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展．这是一道动作题，但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作，更重要的是一种心灵的“动作”，思维的“动作”．受题目叙述的影响，大家往往在想如何折起来？参考答案也是给了一种折的方法．那么这种方法究竟从何而来？其实逆向思维是这题的一个很好的切人点．我们思考：展开一个直三棱柱，如何还原成一个三角形？

　　把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等的三个矩形．现在的问题是能否把乙分为三部分，补在甲的三个角上正好成为一个三角形（如图丙）？因为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的'中点上（如图丁）．按这样的设计，剪开后可以折成一个直三棱柱．

　　六、变图

　　几何图形千变万化，在不断的变化中展示几何图形的魅力，在不断的变化中培养我们的能力，在有意无意的变化中开阔我们的思路．

　　例6 已知在三棱锥中，PA＝a，AB＝AC＝2a，，求三棱锥的体积．

　　分析：此题的解决方法很多，但切割是不错的选择．

　　思路1 设D为AB的中点，依题意有：，，所以有：

　　此解法实际上是把三棱锥一分为二，三棱锥B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，从而大大简化了计算．这种分割的方法也是立体几何解题中的一种重要策略．它化复杂为简单，化未知为已知．

　　思路2 从点A出发的三条棱两两夹角为，故可补形为正四面体．

　　如图，延长AP至S，使PA＝PS，连SB、SC，于是四面体S-ABC为边长等于2a的正四面体，而且

　　从上述的六个方面，我们可以看到，在立体几何的学习中如果我们能正确了解图形,合理利用图形，不断变化图形，一定可以使我们的学习更上一个台阶．

　　201X高中数学知识点归纳：棱锥的性质总结

　　数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了2013高中数学知识点归纳：棱锥的性质总结,希望能够帮助到大家。

　　①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).

　　②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

　　⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

　　①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

　　②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等高中政治，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

　　③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

　　④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

　　⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

　　⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

　　⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;

　　⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

　　[注]：

　　i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)

　　ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

　　简证：AB⊥CD，AC⊥BD

　　BC⊥AD. 令

　　得

　　，已知

　　则

　　iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

　　iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

　　简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.

　　以上内容由独家专供，希望这篇2013高中数学知识点归纳：棱锥的性质总结能够帮助到大家。

　　高一数学函数值域解题技巧

　　【编者按】小编编辑了“高一数学函数值域解题技巧”，希望对广大朋友有所帮助!

　　一.观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3 ∴函数的知域为 .

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y?y<-1或y>1｝)

　　三.配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

　　练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y?y≤3})

　　四.判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

　　五.最值法

　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。

　　∴函数z的值域为{z?-5≤z≤15/4｝。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )

　　A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

　　(答案：D)。

　　六.图象法

　　平面解析几何部分：圆的方程

　　一. 教学内容：平面解析几何部分：圆的方程

　　二. 教学目的

　　1、掌握圆的标准方程与一般方程

　　2、掌握直线与圆、圆与圆的位置关系

　　3、掌握圆的切线、弦及相关问题

　　三. 教学重点、难点

　　1、重点：

　　（1）圆的标准方程与一般方程；（2）直线与圆的位置关系；（3）两个圆的位置关系；（4）有关切线与弦的结论．

　　2、难点：

　　（1）因为圆的特殊性，在解决有关直线与圆的问题时，经常运用由圆的几何性质所产生的式子，如弦长、切线等，一般不列出它们的方程组去分析、讨论。在判断直线与圆的位置关系时，充分利用点到直线的距离公式）是圆心坐标），然后再利用①代数法：设斜率为k的直线与圆相交于和两点，则

　　②几何法：设直线AB，若圆的半径为l的距离为，则

　　（3）在解决有关圆的轨迹及综合问题时，要注意合理运用圆的几何性质。

　　四. 分析

　　【知识梳理】

　　1、圆心为A（a，b），半径长为r的圆的标准方程为）与圆时，则点P（时，则点P（时，则点P（时，方程叫做圆的一般方程．

　　4、直线与圆的位置关系有三种：相割、相切、相离。

　　5、直线（r＞0）的位置关系的判断有：

　　（1）几何方法：

　　圆心（a，b）到直线

　　d＜r 直线与圆相交；

　　d＝r 直线与圆相切；

　　d＞r 直线与圆相离。

　　（2）代数方法：

　　由消元，得到的一元二次方程的判别式为△，则

　　△＞0 直线与圆相交；

　　△＝0 直线与圆相切；

　　△＜0 直线与圆相离。

　　6、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。

　　7、根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：

　　（1）几何方法：

　　两圆

　　有两组不同的实数解两圆相交；

　　有两组相同的实数解两圆相切；

　　无实数解两圆相离或内含。

　　【要点解析】

　　1、圆作为一种较特殊的曲线，它的方程来源于它轨迹的定义，这种根据曲线定义确定曲线方程的方法叫做轨迹法．

　　2、用二元二次方程表示的曲线也叫做“二次曲线”或“圆锥曲线”．圆是其中的特例，教材，只讨论不含“xy”项的二次曲线．同时，在用方程表示曲线时，一定要注意其限制条件．

　　3、在讨论含有字母参变量的圆方程的问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先原则”的拓展．

　　4、在讨论直线与圆的位置关系时，要养成作图的习惯，即在解读完题意之后，通过图形（象）语言将其中的关系再展示出来，在观察和分析时，既可用平面几何知识，又可用代数方法解析，使解决问题的思路更宽．

　　5、求两圆公共弦所在的直线方程的方法

　　求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．

　　6、解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，要注意分类讨论、等价转化及数形结合等思想和方法的熟练运用．

　　【典型例题

　　命题角度1 求圆的方程

　　例1. 一个圆与y轴相切，圆心在直线上截得的弦长为解法1 ∵所求圆的圆心在直线上截得的弦长为的距离为，∴有故所求圆的方程为或解法2：依题设所求圆的方程为

　　解方程组可得

　　∵圆在直线，即解得故所求圆的方程为

　　点评：确定一个圆需三个独立条件，题中显然给了三个条件：（1）圆与y轴相切；（2）圆心在直线上；（3）在直线，但是依题圆与y轴左边或在y轴右边，圆心在直线上，表明圆心的横纵坐标同号。

　　命题角度2 与圆有关的轨迹问题

　　例2. 如图所示，已知P（4，0）是圆内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。

　　有

　　因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动。设Q（x，y），R（

　　代入方程

　　整理得，即点Q的轨迹方程为例3. 已知实数x、y满足方程的最大值和最小值；

　　（3）求的最大值和最小值。

　　，即与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，即与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即的最大值为。

　　（3）<0">表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2，

　　故的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如<4">的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等。

　　命题角度4 利用圆的方程解决实际问题

　　例4. 有一种大型商品，A、 B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？

　　化简整理，得为圆心、为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等。

　　（2）当P点在上述圆内时，故此时到A地购物合算。

　　（3）当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购物合算。

　　点评：在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法．数学实际应用题，在多年来的中得到了重视，除了在选择题、填空题中出现外，近几年都有解答题出现，应引起重视，平时多练习，以提高解决实际问题的．

　　命题角度5 直线与圆的位置关系

　　例5. 已知圆解：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。

　　（1）配方得：消去m得则圆心到直线

　　因为圆的半径为，即时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离。

　　（3）对于任一条平行于l且与圆相交的直线的距离，弦长且r和d均为常量。

　　∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。

　　点评：判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断．

　　求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为y后所得方程两根为；三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．

　　命题角度6 直线与圆相交问题

　　例6. 已知圆设P、Q两点的坐标分别为，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解。

　　即 ①的实数解，即的两个根 ②

　　∵P、Q在直线上，将③④代入①，解得成立，∴解法2：已知圆，过点C作的垂线为由∵OP⊥OQ，在Rt△POQ中，斜边PQ上的中线，有

　　代入圆的方程有故可得∴由，得，解得为所求。

　　点评：此题解法一中将转化为为直径两端点的圆过某定点，均有例7. 自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆解析：已知圆，如图所示。

　　可设光线l所在直线方程为

　　解得或

　　∴光线l所在直线的方程为

　　例8. 试求与圆相切于点Q（3，）的圆的方程。

　　相切于点Q（3，），则CQ垂直于直线

　　即有圆C的半径由于圆C与已知圆对该式讨论：