高中数学联赛最常考的知识点
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高中数学联赛的常考公式
初等数论中的欧拉定理
定理内容
在数论中，欧拉定理(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
(a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n))(mod n)
= (a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n))(mod n)
= (x1 × x2 × ... × xφ(n))(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*(x1 × x2 × ... × xφ(n))) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n))(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
费马定理:
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)
平面几何里的欧拉定理
定理内容
设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr.
证明
O、I分别为⊿ABC的外心与内心.
连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点.
连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径.
由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明)
但DB=DI(可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得)，
故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可.
拓扑学里的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面)，那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
V+F-E=2的证明
方法1：(利用几何画板)
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1
(1)去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
(2)从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 (1)
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=(V-2)·360度(2)
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=(V-2)·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式
图
尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体)，假设F，E和V分别表示面，棱(或边)，角(或顶)的个数，那末
F-E+V=2。
证明 如图(图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的)：
(1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的.中空立体。
(2)去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
(3)对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
(4)如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
(5)如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
(6)这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
(7)因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
(8)如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
复变函数论里的欧拉公式
定理内容
e^ix=cosx+isinx
e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。
“上帝创造的公式”
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
欧拉定理的运用方法
(1)分式：
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
(2)复数
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2
(3)三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d^2=R^2-2Rr
(4)多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 欧拉定理
在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。 其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。
使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数
问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型?
答：足球是多面体，满足欧拉公式F-E+V=2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F=x+y
棱数E=(5x+6y)/2(每条棱由两块皮子共用)
顶点数V=(5x+6y)/3(每个顶点由三块皮子共用)
由欧拉公式，x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，
解得x=12。所以，共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。
所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20
所以共有20块白皮子
(或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接;每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接
所以，五边形的个数x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20)
【同余理论中的
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的简系个数)
十三、孙子定理
今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何?”
十四、组合
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式; 组合计数，组合几何;
抽屉原理;
容斥原理;
极端原理;
图论问题;
集合的划分;
覆盖;
平面凸集、凸包及应用*。
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