高二数学空间向量的公式及定理
即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。
. 已知向量
和轴
，
是
上与
同方向的单位向量，作点
在
上的射影
，作点
在
上的射影
，则
叫做向量
在轴
上或在
上的.正射影. 可以证明
的长度
.
11.空间向量数量积的性质：
(1)
.(2)
.(3)
.
12.空间向量数量积运算律：
(1)
.(2)
(交换律)(3)
(分配律).
二.空间向量的坐标运算知识：
(1)空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标)，y轴是纵轴(对应为纵轴)，z轴是竖轴(对应为竖坐标).
①令
=(a1,a2,a3),
，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
)
②空间两点的距离公式：
. (2)法向量：若向量
所在直线垂直于平面
，则称这个向量垂直于平面
，记作
，如果
那么向量
叫做平面
的法向量.
(3)用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面
的法向量，AB是平面
的一条射线，其中
，则点B到平面
的距离为
. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设
分别是二面角
中平面
的法向量，则
所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(
方向相同，则为补角，
反方，则为其夹角). ③证直线和平面平行定理：已知直线
平面
，
，且CDE三点不共线，则a∥
的充要条件是存在有序实数对
使
.(常设
求解
若
存在即证毕，若
不存在，则直线AB与平面相交).
二、复习点睛：
1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。
3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。
2、空间向量的坐标表示：
(1)空间直角坐标系：
①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向;
③构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半;
(2)空间向量的坐标表示：
①已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)，
由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。
②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当 与 的方向相同时，x>0，当 与 的方向相反时，x<0，同理可确y、z(如图)。
④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。
⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设 ， ，
则：
(3)空间向量的直角坐标运算：
⑦空间两点间距离： ;
⑧空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ;
⑨球面方程：
4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。
5、空间直角坐标系中的特殊点:
(1)点(原点)的坐标：(0,0,0);
(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)
6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。
7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样;
9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。
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