中考常考相交线与平行线知识点

时间:2018-02-22 16:27:59 初中数学 我要投稿

中考常考相交线与平行线知识点

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中考常考相交线与平行线知识点

  第一节、相交线

  1、邻补角与对顶角

  注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;

  ⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角

  ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。

  ⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。

  2、垂线

  ⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 符号语言记作:

  C 如图所示:AB⊥CD,垂足为O

  B A

  D

  ⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

  ⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。

  垂线的画法:

  ⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

  注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。

  画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。

  3 同位角、内错角、同旁内角

  两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

  l

  如图,直线a,b被直线l所截

  ①∠1与∠5在截线l的同侧,同在被截直线a,b的上方,

  b ②∠5与∠3在截线l的两旁(交错),在被截直线a,b之间(内)叫做同位角(位置相同) 内且交错)

  ③∠5与∠4在截线l的同侧,在被截直线a,b之间(内),叫做同旁内角

  第二节、平行线

  1、平行线的概念:

  在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。 2、两条直线的位置关系

  在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)

  判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的`公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行;

  ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

  经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论:

  如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行

  a

  如左图所示,∵b∥a,c∥a b ∴b∥c 注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才

  c

  会结论,这两条直线都平行。

  5、平行线的判定

  方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行

  方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称:内错角相等,两直线平行

  方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 简称:同旁内角互补,两直线平行 几何符号语言:

  ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行) ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠4+∠2=180°

  ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)

  请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。

  注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。

  ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。

  典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正: ⑴不相交的两条直线必定平行线。

  ⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。 ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

  典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?

  解答:⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行; ⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;

  ⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。 6、平行线的性质

  性质1:两直线平行,同位角相等; 性质2:两直线平行,内错角相等; 性质3:两直线平行,同旁内角互补。 几何符号语言: ∵AB∥CD

  ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)

  ∵AB∥CD

  ∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) 7、两条平行线的距离

  如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

  注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

  9、平行线的性质与判定

  ①平行线的性质与判定是互逆的关系

  两直线平行

  同位角相等;

  两直线平行内错角相等; 两直线平行同旁内角互补。

  其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。

  典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C

  证明:∵∠1=∠B(已知)

  ∴DE∥BC(同位角相等,

  两直线平行) ∴∠2=∠C(两直线平行

  同位角相等) 注意,在得出了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。

  典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65° 求∠2、∠3的度数

  解答:∵DE∥BC(已知)

  ∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥DF(已知) ∴AB∥DF(已知)

  ∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°

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