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高一数学：怎样作二面角的平面角
导语：求二面角的大小,是立体几何中重要问题之一,解题的关键是如何作出(或找出)二面角的平面角。以下是小编为大家精心整理的高一数学：怎样作二面角的平面角，欢迎大家参考！
作二面角的平面角的常用方法
定义法
过二面角棱上任意一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，两射线的夹角即为二面角的平面角。步骤：①取棱上一点；②在两半平面内作棱的垂线；③连接得角。适用：棱上易取点，且能在两半平面内作垂线的场景。
三垂线定理法
过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得角为二面角的平面角（三垂线定理：平面内的直线垂直于斜线的射影，则垂直于斜线）。步骤：①作面的垂线得垂足；②作棱的垂线得垂足；③连线段构角。适用：已知一个平面内点到另一平面的垂线，或易作垂线的场景。
垂面法
作垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。步骤：①作垂直于棱的平面；②取平面与两半平面的交线；③两交线夹角即为所求。适用：棱的方向向量已知，或易构造垂直于棱的平面的场景。
向量法
求两个半平面的法向量，法向量的夹角（或其补角）即为二面角的平面角（需结合图形判断是锐角还是钝角）。步骤：①建立空间直角坐标系；②求两半平面的法向量；③计算法向量夹角。适用：空间坐标系易建立，几何图形规则的场景（如长方体、正棱柱等）。
面积射影定理法
设二面角为θ，一个半平面内图形面积为S，其在另一个半平面内的射影面积为S′，则cosθ=SS′，进而求θ。适用：易求原图形及射影图形面积，无需直接作角的场景。
考点：二面角
半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．
b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．
c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.
求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．
(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．
(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．
(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．
(5)向量法
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．
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