大学数学高数线代直观理解知识

时间:2021-01-14 17:03:29 大学数学 我要投稿

大学数学(高数线代)直观理解知识

  我们要有个向量组,拿里面线性无关的向量做基。赋予加法和数乘两种运算,两种运算的具体定义如下:

大学数学(高数线代)直观理解知识

  加法:

  (1)(交换律)x+y=y+x;

  (2)(结合律)(x+y)+z=x+(y+z)

  (3)(零元素)在V中有一元素θ,对于V中任一元素x都有x+θ=x;

  (4)(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=θ;

  数乘

  (5)(1乘律)1x=x;

  (6)(结合律)k(bx)=(kb)x;

  然后再考虑一下混合运算——

  (7)(分配律)(k+b)x=kx+bx;(k倍的缩放加 b 倍的缩放等于k+b倍的缩放)

  (8)(数因子分配律)k(x+y)=kx+ky.(合成后再缩放等于缩放后再合成)

  k,b等元素属于一个数域P(初学者就理解成R吧)。

  好了,数学家拍拍手,这样我们就得出一个向量空间了。

  记住这个例子,对于很多人来说,这也许是我们第一次接触数学里”结构“这个概念,而且也许是最后一次。而数学专业的同学以后肯定会再次接触这个概念的。你看,我们这次构筑空间后,至少我们会在直觉里把元素和它们的运算律(映射关系)这些东西和”结构“扯上关系了。下次如果看到什么”代数结构“之类的词也不至于一脸懵逼。

  矩阵这个东西实在是个大发明,但其实就表达拿特定的向量所构筑的一个空间。搞个简单的,比如“(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)三个向量所构筑一个三维空间”,这么长一句话的内容其实一个矩阵就表达完了——

  嗯……这个是单位阵形式。当然你还可以搞各种花式构筑,比如我们用(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)作为基底一样可以构筑三维空间,表达出来就是这样子的.

  。不过这些矩阵都是等价的,他们实际上都表示同一个空间,只不过描述方式不一样罢了。

  但有的时候,我们会看到这样的

  ,这个按理说,应该是(1,2,3)(4,5,6)两个向量做基底,构筑的就是二维空间,但它和

  不等价。因为从理论上说,既然一个向量,用了三个坐标表示,那意味着我们已经把它放在了一个三维空间里思考,不过这两个向量本身只能构成一个二维空间。所以总的来说,

  这个矩阵表示的是一个在三维空间里的二维空间。我们称它表示的是三维空间的一个子空间。三维空间里等级最高为三,像

  的等级就达到了满级,而

  却没有达到满级。哦,数学里面叫满秩。

  任何n阶的满秩矩阵就是n维空间那一定可以表示成n阶单位阵

  。事实上,我们知道向量是可以缩放与合成的,比如

  是个以(1,2)(3,4)为基的二维空间吧,而这两个基其实完全可以变成(1,0)(0,1),没错吧。怎么变?缩放+合成嘛。也就是用之前说的加法和数乘啊。我们先把(1,2)放大嘛,放大个两倍成(2,4),再反个向得到(-2,-4),然后和(3,4)合成就可以得到(1,0)了,然后再用(1,0)的反向(-1,0)和(1,2)合成,就会得到(0,2),缩放后就是(0,1),OK,基底变换完成。这个就是初等行变换的意思。

  基础知识基本就到这里了,也许你还没看够。因为之后的信息量简直要爆炸,我处理三四天了实在没处理得过来,只能放在下一篇了。等价相似特征值,高斯格林斯托克,还有有趣的行列式!这段时间大家多幻想一下空间的扩张,说不定自己就会有奇妙的体验哦。

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