解析几何中求参数取值范围的方法
近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。下面就是小编跟大家分享解析几何中求参数取值范围的方法，大家一定要在平时的练习中不断积累！
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图,已知△OFQ的.面积为S,且OFFQ=1,若 12 < S<2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.
解: 依题意有
∴tanθ=2S
∵12 < S<2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a
得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.
例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )
A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)
由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)
例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.
解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则
解得 -2<-2< p>
三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若p在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.
例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.
解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则
解得a >17
当A、B同时在椭圆外，则
解得0<6< p>
综上所述，解得0<6 a="">17
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，
∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,
∴- 3k >2，解得-32<0< p>
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
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