高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计

时间:2021-01-28 12:45:31 高中数学 我要投稿

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计

  教案是教师为顺利而有效地开展教学活动,根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况,以课时或课题为单位,对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是小编整理的高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计,希望对大家有帮助!

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计

  一、教学目标:

  1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。

  2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、

  概括等逻辑思维能力。

  3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。

  二、重点:等比数列的性质及其应用。

  难点:等比数列的性质应用。

  三、教学过程。

  同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。

  数列名称 等差数列 等比数列

  定义 一个数列,若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。 一个数列,若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。

  定义表达式 an-an-1=d (n≥2)

  (q≠0)

  通项公式证明过程及方法

  an-an-1=d; an-1-an-2=d,

  …a2-a1=d

  an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d

  an=a1+(n-1)*d

  累加法 ; …….

  an=a1q n-1

  累乘法

  通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1

  多媒体投影(总结规律)

  数列名称 等差数列   等比数列

  定 义 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

  定 义

  表

  达 式 an-an-1=d (n≥2)

  通项公式证明

  迭加法 迭乘法

  通 项 公 式

  加-乘

  乘—乘方

  通过观察,同学们发现:

  等差数列中的 减法、加法、乘法,

  等比数列中升级为 除法、乘法、乘方.

  四、探究活动。

  探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。

  练习1 在等差数列{an}中,a2= -2,d=2,求a4=_____..(用一个公式计算) 解:a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2

  等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.

  猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m

  性质证明 右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边

  应用 在等比数列{an}中,a2= -2 ,q=2,求a4=_____. 解:a4= a2q4-2=-2*22=-8

  探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。

  练习2 在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为 . 解:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180

  等差数列的性质2: 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的,当m=n时,2 an=ap+aq

  猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的,当m=n时,an2=ap*aq

  性质证明 右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边 证明的方向:一般来说,由繁到简

  应用 在等比数列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____. 解:a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36

  由于an>0,a3+a5>0,a3+a5=6

  探究活动3:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。

  练习3 在等差数列{an}中,a30=10,a45=90,a60=_____. 解:a60=2* a45- a30=2×90-10=170

  等差数列的性质3: 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项, 则这些项构成新的等差数列,且2an=an-k+an+k

  an即时an-k,an,an+k的等差中项

  猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些项构成新的'等比数列,且an2=an-k*an+k

  an即时an-k,an,an+k的等比中项

  性质证明 右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边 证明的方向:由繁到简

  应用 在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.

  解:a60= = =810

  应用 等比数列{an}中,a15=10, a45=90,a60=________. 解:

  a30= = = 30

  A60=

  探究活动4:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。

  练习4 设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____. 解:a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35

  等差数列的性质4: 设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列 两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列

  猜想等比数列的性质4 设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列 两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列,两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。

  性质证明 证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1; {bn}的首项为b1,公比为q2,设cn=anbn那么数列{anbn} 的第n项与第n+1项分别为:

  应用 设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列,若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____. 解:由题意可知{anbn}是等比数列,a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。

  由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63

  (四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位,以学生的自主学习,自主探究为主题,以教师的指导为辅,开展教学活动)

  五、等比数列具有的单调性

  (1)q<0,等比数列为 摆动 数列, 不具有 单调性

  (2)q>0(举例探讨并填表)

  a1 a1>0 a1<0

  q的范围 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1

  {an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减

  让学生举例说明,并查验有多少学生填对。(真确评价)

  六、课堂练习:

  1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(  ).

  A. B.7  C.6  D.

  解析:由已知得a32=5, a82=10,

  ∴a4a5a6=a53= = =5 .

  答案:A

  2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=   .

  答案:4

  3、 +1与 -1两数的等比中项是(  ).

  A.1  B.-1  C.   D.±1

  解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选D

  4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2  ,a2=1,则a1等于( ).

  A.2  B.   C.   D.

  解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .

  答案:C

  5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14,

  它们的积等于64,求这三个数。

  分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.

  由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数

  为: 根据题意

  再由方程组可得:q=2 或

  既这三个数为2,4,8或8,4,2。

  七、小结

  本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。

  八、

  §3.1.2等比数列的性质及应用

  性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m

  性质二:在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at

  性质三:若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些

  项构成新的等比数列,且 an2=an-k*an+k

  性质四:设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比

  数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列

  板书设计

  九、反思

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