高中数学必修一必修知识点总结
第一章集合与函数概念
一：集合的含义与表示
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
3、集合的表示：{?}
（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c??}
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A
常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
6、集合间的基本关系（1）“包含”关系：子集
定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：A?B（或B?Ａ）
注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合。
??反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B或B?A
（2）“包含”关系：真子集
如果集合A?B，但存在元素x?B且x￠A，则集合A是集合B的真子集
如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含于B（3）“相等”关系：A=B
“元素相同则两集合相等”如果A?B同时B?A那么A=B
（4）不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性质
①任何一个集合是它本身的子集。A?A②如果A?B,B?C,那么A?C
③如果AB且BC，那么AC
nn-1
④有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
二、函数的概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的`y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3.函数的表示方法：
（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法
1.描点法
2.图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
三、函数的基本性质
1.函数解析式子的求法
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示
5、值域（先考虑其定义域）
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；
（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
8、函数的单调性(局部性质)及最值
（1）增减函数
（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两
个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间称为y=f(x)的单调增区间.
（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：
1任取x，x∈D，且x<x；○
2作差f(x)－f(x)；○
3变形（通常是因式分解和配方）；○
4定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；○
5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．○
1
2
1
2
1
2
1
2
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
9：函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；
b、确定f(－x)与f(x)的关系；
c、作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．
（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1.在公共定义域内:
2.偶函数的加减乘除仍为偶函数；
3.奇函数的加减仍为奇函数；
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