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高中数学必考知识点

时间：2021-03-06 19:08:08 高中数学我要投稿

高中数学必考知识点汇总

　　线性回归方程

高中数学必考知识点汇总

　　1．学习目标：

　　了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握

　　回归直线方程的求解方法。

　　2．学法指导：

　　①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．

　　②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．

　　③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．

　　【教师在线】

　　1．解析视屏：

　　1．相关关系的概念

　　在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：

　　一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长之间的函数关系（确定关系）；

　　一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）

　　相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

　　相关关系与函数关系的异同点：

　　相同点：均是指两个变量的关系。

　　不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

　　2．求回归直线方程的思想方法

　　观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？

　　引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：

　　设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。

　　则，于是得到各个偏差。

　　显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

　　表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。

　　记。

　　上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即

　　其中

　　以上方法称为最小二乘法。

　　2．经典回放：

　　例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？

　　（1）电压U与电流I

　　（2）圆面积S与半径R

　　（3）自由落体运动中位移s与时间t

　　（4）粮食产量与施肥量

　　（5）人的身高与体重

　　（6）广告费支出与商品销售额

　　分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

　　解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。

　　对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。

　　人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。

　　广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。

　　点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。

　　例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：

　　ｘ45424648423558403950

　　y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

　　ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）

　　(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。

　　解：（１）见下图

　　（２）

　　设回归直线为，

　　则，

　　所以所求回归直线的方程为，图形如下:

　　点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求ａ；用求ｂ；写出回归方程。

　　【同步训练】

　　1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）

　　A．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积

　　C．正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高

　　2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是（）

　　A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元

　　B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元

　　C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元

　　D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元

　　3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均（）

　　A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位

　　4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。

　　5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

　　施化肥量x15202530354045

　　水稻产量y330345365405445450455

　　(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形

　　【拓展尝新】

　　6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

　　时间t(s)5101520304050607090120

　　深度y(μm)610101316171923252946

　　(1)画出散点图；

　　(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

　　【解答】

　　1． D 2．C 3．C 4．69.66

　　5．解：(1)散点图（略）．

　　(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

　　i1234567

　　xi15202530354045

　　yi330345365405445450455

　　xiyi49506900912512150155751800020475

　　故可得到。

　　6．解：(1)散点图略，呈直线形.

　　(2)经计算可得：

　　类比推理

　　1.2 类比推理

　　过程

　　一．问题情境

　　从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

　　他的思路是这样的：

　　茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.

　　这个推理过程是归纳推理吗？

　　二．数学活动

　　我们再看几个类似的推理实例。

　　例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

　　等式的性质：猜想不等式的性质：

　　(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;

　　(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;

　　(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。

　　问：这样猜想出的结论是否一定正确？

　　例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

　　圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

　　球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

　　圆球

　　弦←→截面圆

　　直径←→大圆

　　周长←→表面积

　　面积←→体积

　　圆的性质球的性质

　　圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆

　　与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

　　圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

　　经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

　　☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

　　简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

　　类比推理的一般步骤：

　　⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

　　⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

　　⑶ 检验猜想。即

　　例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

　　试通过类比,写出在空间中的类似结论.

　　巩固提高

　　1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------

　　2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

　　直角三角形 3个面两两垂直的四面体

　　∠C＝90°

　　3个边的长度a，b，c

　　2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

　　4个面的面积S1，S2，S3和S

　　3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S

　　3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

　　已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________

　　1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

　　2．类比推理的一般步骤：

　　①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

　　2.2二项分布及其应用教案三（新人教A版选修2-3）

　　2．2．2事的相互独立性

　　目标：

　　知识与技能：理解两个事相互独立的概念。

　　过程与方法：能进行一些与事独立有关的概率的计算。

　　情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

　　重点：独立事同时发生的概率

　　教学难点：有关独立事发生的概率计算

　　授类型：新授

　　时安排：2时

　　教具：多媒体、实物投影仪

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　1 事的定义：随机事：在一定条下可能发生也可能不发生的事；

　　必然事：在一定条下必然发生的事；

　　不可能事：在一定条下不可能发生的事

　　2．随机事的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事的概率，记作．

　　3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事发生的频率近似地作为它的概率；

　　4．概率的性质：必然事的概率为，不可能事的概率为，随机事的概率为，必然事和不可能事看作随机事的两个极端情形

　　5 基本事：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事）称为一个基本事

　　6．等可能性事：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事的概率都是，这种事叫等可能性事

　　7．等可能性事的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事包含个结果，那么事的概率

　　8．等可能性事的概率公式及一般求解方法

　　9.事的和的意义:对于事A和事B是可以进行加法运算的

　　10 互斥事:不可能同时发生的两个事．

　　一般地：如果事中的任何两个都是互斥的，那么就说事彼此互斥

　　11．对立事:必然有一个发生的互斥事．

　　12．互斥事的概率的求法:如果事彼此互斥，那么

　　探究:

　　(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？

　　事：甲掷一枚硬币，正面朝上；事：乙掷一枚硬币，正面朝上

　　(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

　　事：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事：从乙坛子里摸出1个球，得到白球

　　问题(1)、(2)中事、是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）

　　问题(1)、(2)中事（或）是否发生对事（或）发生的概率有无影响？（无影响）

　　思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事A的发生会影响事B 发生的概率吗?

　　显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事A的发生不会影响事B 发生的概率．于是

　　P（B A）=P(B）,

　　P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).

　　二、讲解新：

　　1．相互独立事的定义：

　　设A, B为两个事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事A与事B相互独立（mutually independent ) .

　　事（或）是否发生对事（或）发生的概率没有影响，这样的两个事叫做相互独立事

　　若与是相互独立事，则与，与，与也相互独立

　　2．相互独立事同时发生的概率：

　　问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事，它的发生，就是事，同时发生，记作．（简称积事）

　　从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有种等可能的结果同时摸出白球的结果有种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率．

　　另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率．显然．

　　这就是说，两个相互独立事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积一般地，如果事相互独立，那么这个事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积，

　　即．

　　3．对于事A与B及它们的和事与积事有下面的关系：

　　三、讲解范例：

　　例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事的概率：

　　(1)都抽到某一指定号码；

　　(2)恰有一次抽到某一指定号码；

　　(3)至少有一次抽到某一指定号码．

　　解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率

　　P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.

　　(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为

　　P (A ）十P（ B）=P（A）P（）+ P（）P（B )

　　= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

　　( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.

　　例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：

　　（1）人都射中目标的概率；

　　（2）人中恰有人射中目标的概率；

　　（3）人至少有人射中目标的概率；

　　（4）人至多有人射中目标的概率？

　　解：记“甲射击次，击中目标”为事，“乙射击次，击中目标”为事，则与，与，与，与为相互独立事，

　　（1）人都射中的概率为：

　　∴ 人都射中目标的概率是．

　　（2）“ 人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事发生），另一种是甲未击中、乙击中（事发生）根据题意，事与互斥，根据互斥事的概率加法公式和相互独立事的概率乘法公式，所求的概率为：

　　∴ 人中恰有人射中目标的概率是．

　　（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．

　　（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事，

　　2个都未击中目标的概率是，

　　∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．

　　（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，

　　故所求概率为：

　　（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事是“2人都击中目标”，

　　故所求概率为

　　例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

　　解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事，，．

　　由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

　　∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

　　答：在这段时间内线路正常工作的概率是．

　　变式题1：如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

　　变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率

　　方法一：

　　方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除开且与至少有1个开的情况

　　例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

　　（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

　　（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

　　分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率

　　解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事为 (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事为．

　　∵事，，，，相互独立，

　　∴敌机未被击中的概率为

　　∴敌机未被击中的概率为．

　　（2）至少需要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：

　　敌机被击中的概率为1-

　　∴令，∴

　　两边取常用对数，得

　　∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机

　　点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便

　　四、堂练习：

　　1．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )

　　2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（）

　　2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率

　　2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率

　　3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）

　　0.128 0.096 0.104 0.384

　　4．某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）

　　5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；

　　（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．

　　6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，

　　（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．

　　（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．

　　7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0 .79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.

　　8．制造一种零，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1，其中恰有 1废品的概率是多少？

　　9 ．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？

　　答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)

　　6.(1) , (2) ,

　　7. P=

　　8. P=

　　9. 提示：

　　五、小结：两个事相互独立，是指它们其中一个事的发生与否对另一个事发生的概率没有影响一般地，两个事不可能即互斥又相互独立，因为互斥事是不可能同时发生的，而相互独立事是以它们能够同时发生为前提的相互独立事同时发生的概率等于每个事发生的概率的积,这一点与互斥事的概率和也是不同的

　　六、后作业：本58页练习1、2、3 第60页习题 2. 2A组4. B组1

　　七、板书设计（略）

　　八、教学反思：

　　1. 理解两个事相互独立的概念。

　　2. 能进行一些与事独立有关的概率的计算。

　　3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。

　　数列教案

　　2.1 数列的概念

　　一、知识要点

　　1、数列的定义：按照一定排列的一列数叫数列.数列中的都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项, …,第n项, …数列的一般形式可以写成：，其中是数列的，叫做数列的，我们通常把一般形式的数列简记作。

　　2、数列的表示:

　　(1)列举法:将每一项一一列举出表示数列的方法.

　　(2)图像法:由(n,an)点构成的一些孤立的点;

　　(3)解析法:用通项公式an=f(n)（）表示.

　　通项公式：如果数列{ }中的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，则称此公式为数列的 .

　　数列通项公式的作用：

　　①求数列中任意一项；

　　②检验某数是否是该数列中的一项.

　　思考与讨论:

　　①数列与数集有什么区别？

　　与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；

　　确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

　　可重复性：数列中的数可以重复。

　　有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

　　②是否所有的数列都有通项公式？

　　③{ }与有什么区别？

　　⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。

　　3、数列与函数

　　从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为（或它的）的函数，当自变量按照从小到大的'顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的是相应的函数的解析式，它的图像是。

　　4、数列分类：

　　按项数分类：， .

　　按项与项间的大小关系分类：，

　　5、任意数列{an}的前n项和的性质

　　= a1+ a2+ a3+ ……+ an

　　6、求数列中最大最小项的方法：

　　最大最小，考虑数列的单调性.

　　二、典例分析

　　题型1: 用观察法求数列的通项公式

　　例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.

　　⑴-1,7,-13,19,…；

　　⑵7,77,777,777,…；

　　根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面考虑：

　　⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项.

　　⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1调节，这是因为n和n+1奇偶交错.

　　⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.

　　⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{ }，{2n}，， {10n－1}，{1－10—n }等.

　　⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式表示.

　　题型2: 运用an与Sn的关系求通项

　　例2、已知数列的前n项的和 .

　　⑴写出数列的通项公式；

　　⑵判断的单调性.

　　题型3:运用函数思想解决数列问题

　　例3、已知数列中，它的最小项是（）

　　A.第一项B.第二项C.第三项D. 第二项或第三项

　　题型4: 递推数列

　　例4、⑴若数列中，，且各项满足，写出该数列的前5项．

　　⑵已知数列{an}中，，且各项满足，写出该数列的前5项.

　　三、时作业

　　1.数列 …的一个通项公式是（）

　　2.已知数列满足 ,则数列是( )

　　A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列

　　3.已知数列的首项且 ,则等于( )

　　A. B. C. D.

　　4.已知数列中, ,

　　则等于( )

　　A. B. C. D.

　　5.已知数列对任意的满足，且，那么等于（）

　　A． B． C． D．

　　6.已知数列{ }的前项和，第项满足，则（）

　　A． B． C. D．

　　7.数列，…，则按此规律，是这个数列的第项.

　　8.已知数列的通项公式，则 = ， 65是它的第项.

　　9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______.

　　10.写出下列数列的通项公式：

　　⑥1,0,1,0,1,0,…；

　　11.已知数列

　　（1）求这个数列的第10项；

　　（2）是不是该数列中的项，为什么？

　　（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；

　　（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.

　　12.已知数列的通项公式为 .

　　(1)试问是否是数列中的项?

　　(2)求数列的最大项.

　　向量的减法运算及其几何意义

　　2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

　　目标：

　　1、了解相反向量的概念；

　　2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

　　3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

　　重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

　　教学难点：减法运算时方向的确定.

　　学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.

　　教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

　　向量加法的运算定律：

　　例：在四边形中，CB+BA+BC= .

　　解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .

　　二、提出课题：向量的减法

　　1．用“相反向量”定义向量的减法

　　（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 -a

　　（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.

　　任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0

　　如果a、b互为相反向量，则a = -b， b =-a， a + b = 0

　　（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.

　　即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

　　2．用加法的逆运算定义向量的减法：

　　向量的减法是向量加法的逆运算：

　　若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b

　　3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量

　　∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

　　作法：在平面内取一点O，

　　作 = a， = b

　　则 = a - b

　　即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

　　注意：1? 表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数

　　2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)

　　显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

　　4．探究：

　　１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b - a.

　　２）若a∥b，如何作出a - b ？

　　三、例题：

　　例1、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.

　　解：在平面上取一点O，作 = a， = b， = c， = d，

　　作，，则 = a-b， = c-d

　　例2、平行四边形中， a， b，

　　用a、b表示向量、 .

　　解：由平行四边形法则得：

　　= a + b， = = a-b

　　变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（a = b）

　　变式二：当a， b满足什么条件时，a+b = a-b？（a， b互相垂直）

　　变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

　　练习：Ｐ98

　　四、小结：向量减法的定义、作图法

　　五、作业：P103第4、５题

　　六、板书设计（略）

　　2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

　　课前预习学案

　　预习目标：

　　复习回顾向量的加法法则及其运算律，为本节新授内容做好铺垫。

　　预习内容：

　　向量加法的法则：。

　　向量加法的运算定律：。

　　例：在四边形中，CB+BA+BC= .

　　解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .

　　提出疑惑：向量有加法运算，那么它有减法吗？

　　课内探究学案

　　学习目标：

　　1、了解相反向量的概念；

　　2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

　　3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

　　学习过程：

　　一、提出课题：向量的减法

　　1．用“相反向量”定义向量的减法

　　（1）“相反向量”的定义：。

　　（2）规定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.

　　任一向量与它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0

　　如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0

　　（3）向量减法的定义： .

　　即：求两个向量差的运算叫做向量的减法.

　　2．用加法的逆运算定义向量的减法：

　　向量的减法是向量加法的逆运算：

　　若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作。

　　求作差向量：已知向量a、b，求作向量

　　∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

　　作法：

　　注意：1? 表示a -b.强调：差向量“箭头”指向

　　2?用“相反向量”定义法作差向量，a -b = 。显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

　　3．探究：

　　１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是。

　　２）若a∥b，如何作出a - b ？

　　二、例题：

　　例1、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.

　　例2、平行四边形中， a， b，

　　用a、b表示向量、 .

　　变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（a = b）

　　变式二：当a， b满足什么条件时，a+b = a?b？（a， b互相垂直）

　　变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

　　练习：Ｐ98

　　三、小结：向量减法的定义、作图法

　　四、作业：P103第4、５题

　　课后练习与提高

　　1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )?

　　A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?

　　2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设 =a， =b， =c， =d，则A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

　　３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?

　　a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?

　　４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b= ，c-d= ，并画出b-c和a+d.

　　参考答案：

　　高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案

　　第13时

　　1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一)

　　学习目标

　　掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.

　　学习过程

　　一、学前准备

　　复习：（本P37B2）求证：

　　二、新导学

　　探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处）

　　问题1：计算展开式的二项式系数并填入下表：

　　展开式的二项式系数

　　应用示例

　　例1．（本P34例3）试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

　　反馈练习

　　1. （本P35练1）填空：

　　（1）的各二项式系数的最大值是；

　　（2） ;

　　(3) .

　　2. （本P35练2）证明（是偶数）.

　　三、当堂检测

　　1. （本P40A(7)）的展开式中，系数最大的项是第项.

　　2.已知为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 .

　　3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.

　　A.-7 B.7 C.-28 D.28

　　2.（本P35练3）写出从1到10的二项式系数表.

　　后作业

　　1．（本P37A7）利用杨辉三角，画出函数

　　的图象.

　　2. （本P37A8）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.

　　3.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

　　古典概型

　　基础训练

　　1．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是

　　2．任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是

　　3．某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码，每位上的数字可在0，1，2，…，9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，若按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是

　　4．连续3次抛掷一枚硬币，则正、反面交替出现的概率是

　　5．在坐标平面内，点在x轴上方的概率是

　　典型例题

　　例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

　　分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

　　解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）

　　所以基本事件数n=6，

　　事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），

　　其包含的基本事件数m=3

　　所以，P（A）= = = =0.5

　　小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：

　　（1）所有的基本事件必须是互斥的；

　　（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。

　　例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

　　解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则

　　A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]

　　事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）= =

　　例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

　　（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

　　（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

　　分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．

　　解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．

　　（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．

　　解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．

　　小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．

　　课堂精炼

　　1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是。

　　答案：

　　2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是。

　　答案：

　　3.从标有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为。

　　答案： 4.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为；

　　点数之和大于9的概率为。

　　答案：；

　　5.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是。

　　答案：