高中数学知识点整理
1.1正弦定理、余弦定理
重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．
考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．
(1)求角C；
(2)求△ABC面积的最大值．
当堂练习：
1．在△ABC中，已知a=5, c=10, A=30°, 则∠B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15°
2在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)?(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°
5．在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定
6．在平行四边形ABCD中，AC=BD, 那么锐角A的最大值为 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
7. 在△ABC中，若==，则△ABC的形状是 ( )
(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
9．在△ABC中，若a=50，b=25, A=45°则B= .
10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4cm和4cm，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .
11.在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。
12．在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是 .
13．在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
14．在△ABC中，已知边c=10, 又知==，求a、b及△ABC的内切圆的半径。
15．已知在四边形ABCD中，BC＝a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长。
16．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=tanA?tanB－，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值。
参考答案：
经典例题：解：(1)∵
∵ 2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴ 2R［()2-()2］＝(a-b)?∴ a2-c2＝ab-b2
∴ ∴ cosC＝，∴ C＝30°
(2)∵ S＝absinC＝?2RsinA?2RsinB?sinC＝R2sinAsinB
＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝［cos(A-B)＋cosC］
＝［cos(A-B)＋］ 当cos(A-B)＝1时，S有最大值．，
当堂练习：
1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或120°; 10. 4cm和4cm; 11.50; 12. 2或;
13、解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
a?b=2, ∴c2=a2+b2－2a?bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, S△ABC=absinC=×2×=.
14．解：由=，=,可得 =，变形为sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形.
由a2+b2=102和=，解得a=6, b=8, ∴内切圆的半径为r===2
15、
解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x，根据四边形的内角和有3x+7x+4x+10x=360°.解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150°
连结BD，得两个三角形△BCD和△ABD
在△BCD中，由余弦定理得
BD2=BC2+DC2－2BC?DC?cosC=a2+4a2－2a?2a?=3a2,
∴BD=a.这时DC2=BD2+BC2，可得△BCD是以DC为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120°
在△ABD中，由正弦定理有AB= ＝＝＝
∴AB的长为
16、解：由tanA+tanB=tanA?tanB－可得＝－，即tan(A+B)=－
∴tan(π－C)= －, ∴－tanC=－, ∴tanC=∵C∈(0, π), ∴C=
又△ABC的面积为S△ABC=，∴absinC=即ab×=, ∴ab=6
又由余弦定理可得c2=a2+b2－2abcosC∴()2= a2+b2－2abcos∴()2= a2+b2－ab=(a+b)2－3ab
∴(a+b)2=, ∵a+b>0, ∴a+b=
又 高中学习方法，解之m=2或m=
而2和不满足上式. 故这样的m不存在.
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