哪些灯还亮着的奥数题及答案
一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关.开始时，所有的灯都不亮.有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开;第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的.开关按一下，然后离开;如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开.问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着?
【答案解析】
对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开着的;当它的开关被按偶数次时，灯是关着的;根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数;要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个.显然完全平方数有奇数个因数.所以用平方数编号的灯是亮着的.而内的完全平方数有 ，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.
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