高中常考的数学知识点:二次函数
导语:人具上资而意理疏莽,即上资无用;人具中才而心思缜密,即中才有用;能通几何之学,缜密甚矣。故率天下之人而归于实用者,是或其所由之道也。下面是小编为大家整理的,高中数学的知识点,希望对大家有所帮助,欢迎阅读,仅供参考,更多相关的知识,请关注CNFLA学习网!
定义与命题:
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的.值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
(0,0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h,0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h,k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
一、增函数和减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
二、单调区间
单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y,随自变量X增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间。
【高中常考的数学知识点:二次函数】相关文章:
高中常考的数学知识点:函数10-15
高中常考的数学知识点:集合与函数10-16
高中常考的数学知识点:幂函数10-17
高中常考的数学知识点:函数的整理10-23
高中常考的数学知识点:对数函数与幂函数10-18
高中常考的数学知识点:函数的单调性10-17
高中常考的数学知识点:函数的定义域10-23