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高考数学常考题型：排列组合题

时间：2021-01-27 09:06:32 高中数学我要投稿

高考数学常考题型：排列组合题

　　导语：搞科学研究，不能使用‘大概’、‘也许’这些字眼，也不能用估计和推断代替观察下面是小编为大家整理的：数学知识点。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!

高考数学常考题型：排列组合题

　　排列组合二项定理

　　考试内容：

　　分类计数原理与分步计数原理.

　　排列.排列数公式.

　　组合.组合数公式.组合数的两个性质.

　　二项式定理.二项展开式的性质.

　　考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

　　排列组合二项定理知识要点

　　一、两个原理.

　　1. 乘法原理、加法原理.

　　2. 可以有重复元素的排列.

　　从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法? (解：

　　种)

　　3.计数原理知识点

　　①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)

　　二、排列.

　　1. ⑴对排列定义的理解.

　　定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

　　⑵相同排列.

　　如果;两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

　　⑶排列数.

　　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号

　　表示.

　　(4)排列(有序)与组合(无序)

　　Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!

　　Cnm = n!/(n-m)!m!

　　Cnm= Cnn-m　　Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!

　　(5)排列数公式：

　　注意：

　　规定0! = 1

　　规定

　　2. 含有可重元素的排列问题.

　　对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于

　　. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数

　　又例如：数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数

　　三、组合.

　　1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

　　⑵组合数公式：

　　⑶两个公式：①

　　②

　　①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

　　(或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有

　　一类是不含红球的选法有

　　) ②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C

　　，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C

　　种，依分类原理有

　　⑷排列与组合的联系与区别.

　　联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

　　区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

　　⑸①几个常用组合数公式

　　②常用的证明组合等式方法例.

　　i. 裂项求和法. 如：

　　(利用

　　)

　　ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

　　v. 递推法(即用

　　递推)如：

　　. vi. 构造二项式. 如：

　　证明：这里构造二项式

　　其中

　　的系数，左边为

　　，而右边

　　四、排列、组合综合.

　　1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：

　　①直接法. ②排除法.

　　③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某

　　个元素必相邻的排列有

　　个.其中

　　是一个“整体排列”，而

　　则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为

　　. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有

　　. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有

　　. 注：①③区别在于①是确定的座位，有

　　种;而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.

　　④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

　　例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少?

　　(插空法)，当n – m+1≥m, 即m≤

　　时有意义.

　　⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

　　⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有

　　种，

　　个元素的全排列有

　　种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

　　种排列方法.

　　例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法?

　　解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二：(比例分配法)

　　. ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

　　. 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有

　　(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的'概率是多少? (

　　) 注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法?有

　　，当n – m+1 ≥m, 即m≤

　　时有意义.

　　⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

　　例如：

　　的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为

　　显然

　　，故(

　　)是方程的一组解.反之，方程的任何一组解

　　，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数

　　. 注意：若为非负数解的x个数，即用

　　中

　　等于

　　，有

　　，进而转化为求a的正整数解的个数为

　　. ⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

　　例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少种排法?

　　固定在某一位置上：

　　;不在某一位置上：

　　或

　　(一类是不取出特殊元素a，有

　　，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的)

　　⑩指定元素排列组合问题.

　　i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合)，规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列

　　;组合

　　. ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合)，规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列

　　;组合

　　. iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合)，规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列

　　;组合

　　II. 排列组合常见解题策略：

　　①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列);④正难则反，等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;

　　⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.

　　2.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

　　排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

　　捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

　　插空法(解决相间问题)　　间接法和去杂法等等

　　在求解排列与组合应用问题时，应注意：

　　(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

　　(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

　　(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

　　(4)列出式子计算和作答.

　　经常运用的数学思想是：

　　①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

　　3. 组合问题中分组问题和分配问题.

　　①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为

　　(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以

　　. 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为

　　.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为

　　②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为

　　例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：

　　种. 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有

　　种 ③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为

　　. 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为

　　④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为

　　…

　　例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为

　　若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为

　　五、二项式定理.

　　1.二项式定理知识点：

　　①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn

　　特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

　　②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m

　　最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)

　　所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

　　奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和

　　Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1

　　③通项为第r+1项：　Tr+1= Cnran-rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

　　2.二项式定理的应用：

　　解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

　　3.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

　　4. ⑴二项式定理：

　　展开式具有以下特点：

　　① 项数：共有

　　项; ② 系数：依次为组合数

　　③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

　　⑵二项展开式的通项.

　　展开式中的第

　　项为：

　　⑶二项式系数的性质.

　　①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;

　　②二项展开式的中间项二项式系数最大.

　　I. 当n是偶数时，中间项是第

　　项，它的二项式系数

　　最大; II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第

　　项和第

　　项，它们的二项式系数

　　最大.

　　③系数和：

　　附：一般来说

　　为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当

　　时，一般采用解不等式组

　　的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求

　　展开式中含

　　的系数呢?其中

　　且

　　把

　　视为二项式，先找出含有

　　的项

　　，另一方面在

　　中含有

　　的项为

　　，故在

　　中含

　　的项为

　　.其系数为

　　5. 近似计算的处理方法.

　　当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式

　　，因为这时展开式的后面部分

　　很小，可以忽略不计。类似地，有

　　但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

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